50.어느 마을에 주민들이 염소를 방목할 수 있는 공동의 목초지가 있다. 염소를 방목하여 기를 때 얻는 총수입은 R=10(20X−X²)이고, 염소 한 마리에 소요되는 비용은 20이다. 만약 개별 주민들이 아무런 제한 없이 각자 염소를 목초지에 방목하면 마을 주민들은 총 X₁마리를, 마을 주민들이 마을 전체의 이윤을 극대화하고자 한다면 총 X₂마리를 방목할 것이다. X₁과 X₂는? (단, X는 염소의 마리수이다.)

① 12, 9

정답: X

X₂=9는 옳지만 X₁이 틀렸다 — 12마리면 평균수입 200−10×12=80이 비용 20보다 커 주민들이 더 들인다.

② 12, 16

정답: X

공유지에서는 각자 방목이 지나쳐 X₁이 X₂보다 커야 한다 — 바른 값은 X₁=18, X₂=9다.

③ 16, 12

정답: X

X₁=16이면 평균수입 40이 비용보다 커 방목이 더 늘고, X₂=12면 한계수입 200−240=−40이라 마을 이윤이 준다.

④ 18, 9

정답: O

각자 방목하면 한 마리의 평균수입이 비용과 같을 때까지 늘린다: R/X=200−10X=20 → X₁=18. 마을 전체는 한계수입이 비용과 같을 때다: dR/dX=200−20X=20 → X₂=9.

⑤ 18, 12

정답: X

X₁=18은 옳지만 12마리면 한계수입이 −40으로 비용 20보다 작다 — X₂는 한계수입이 20인 9마리다.