집중경향과 산포

기술통계는 모은 자료를 요약해 보여 주는 통계다. 모집단을 추정하는 추론통계와 달리, 손에 쥔 자료가 어떻게 생겼는지를 정리해 전하는 것이 목적이다. 요약은 두 축으로 이루어진다. 자료가 어디에 모여 있는가(집중경향)와 얼마나 흩어져 있는가(산포)다. 집중경향의 대표값은 셋이다. 최빈값은 가장 많이 나온 값으로 명목수준부터 쓸 수 있다. 중앙값은 값을 줄 세웠을 때 한가운데에 놓이는 값으로 서열수준부터 쓸 수 있고, 극단값의 영향을 받지 않는다. 평균은 모두 더해 나눈 값으로 등간수준부터 쓸 수 있으며 가장 많은 정보를 쓰지만 극단값에 끌려간다. 소득처럼 한쪽으로 길게 늘어진 분포에서는 평균이 다수의 형편을 대표하지 못하므로 중앙값을 함께 보는 것이 옳다. 산포의 대표값도 여럿이다. 범위는 최댓값과 최솟값의 차이로 간단하지만 극단값 둘에 좌우된다. 사분위 범위는 가운데 절반이 걸치는 폭이라 극단값에 강하다. 분산은 각 값이 평균에서 떨어진 거리를 제곱해 평균한 값이고, 표준편차는 그 제곱근이라 원래 단위로 돌아와 해석하기 쉽다. 두 축을 함께 보아야 하는 까닭은 분명하다. 평균이 같아도 흩어짐이 다르면 전혀 다른 집단이다. 평균 50점에 표준편차가 5인 반과 25인 반은 지도 방법이 달라야 한다. 그래서 보고서에는 평균과 표준편차를 늘 짝지어 적고, 분포가 치우쳐 있으면 중앙값과 사분위 범위를 함께 밝힌다. 요약에 앞서 분포의 모양을 그림으로 한번 보는 일도 기술통계의 일부다. 히스토그램이나 상자그림을 그려 보면 값이 한쪽으로 쏠렸는지, 봉우리가 둘인지, 유난히 동떨어진 값이 있는지가 곧바로 드러난다. 이런 것들은 평균과 표준편차라는 두 숫자만으로는 결코 보이지 않으며, 그림을 건너뛰고 표부터 만들면 자료가 무슨 말을 하고 있는지 놓치기 쉽다.

자료를 요약한다는 것은 한 무리의 사람을 두 마디로 설명하는 일이다. 「대체로 이쯤에 모여 있고, 이만큼 벌어져 있다.」 둘 가운데 하나만 말하면 그림이 서지 않는다. 평균만 말하면 모두 비슷한 줄 알게 되고, 흩어짐만 말하면 어디쯤인지 알 수 없다. 그래서 통계표에서 평균 옆에는 늘 표준편차가 붙어 다니고, 둘을 함께 읽는 습관이 자료를 보는 눈을 만든다.